De todas las inutilidades, tengo especial predilección por aquellas sobre las que en algún momento he dicho en voz alta “¿Pero esto cuando lo vamos a usar en nuestra vida?”. Todos hemos sido jóvenes y tendremos alguna grabada a fuego. Si además usted ha tenido la suerte de profundizar académicamente en un tema, es posible que tenga una colección considerable. De mi primer paso por la universidad guardo una larga lista gracias al campo de las Telecomunicaciones, y una de mis favoritas es la temida transformada de Fourier. Herramienta a la que mi yo de 18 años jamás pensó dedicarle un escrito, pero ya ve usted que la vida cambia de un domingo a otro.

Un poco de contexto

Me gusta saltarme la rutina de vez en cuando y trabajar o estudiar un rato desde alguna cafetería. Lo más común es que a mi alrededor se forme un zumbido casi hipnótico de conversaciones entremezcladas, cucharas golpeando tazas y la televisión contando algún nuevo drama de fondo. El cerebro aprende a ignorar ese ruido ambiental, como una niebla sonora. Pero, a veces, de repente, mi cerebro conecta porque escucho algo. No sé por qué, pero entre todas esas voces distingo una. Una persona conocida ha entrado, alguien cuya voz, aunque no sea más fuerte que las otras, resalta por encima de todo. ¿Por qué?

Esa pequeña maravilla cotidiana —perdone mi vena especialmente poética— tiene mucho que ver con esa idea de las matemáticas y la física que le comentaba: la transformada de Fourier.

El nombre suena tan técnico como enigmático. Fuera de los ámbitos especializados, puede que le suene a baraja de cartas o a ropa de ciclismo. Nada más lejos de la realidad. Lo que hay detrás es bello y útil: una forma ver lo esencial en medio del ruido. Para mi fue la primera demostración de que era posible ver lo invisible. También de lo que uno se podía encontrar al adentrarse en una ingeniería.

Porque la transformada de Fourier se impartía (e imagino se sigue impartiendo) en la asignatura de Sistemas Lineales, de la que uno podía encontrar noticias como la siguiente en la prensa regional de la época.

No obstante, analizando detalladamente la ‘lista negra’ se puede obtener el ‘top’ de las ocho asignaturas con mayor fracaso académico, teniendo en cuenta los tres criterios utilizados para el estudio. Estaría encabezada por Sistemas Lineales, que se imparte en la titulación de Ingeniero Técnico de Telecomunicación, especialidad Sistemas de Telecomunicación, del Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones e Ingeniería Telemática. De los 125 alumnos matriculados en el curso objeto de análisis, la tasa de rendimiento fue del 12% (suspendieron el 88% de los alumnos matriculados) y la de éxito fue del 31,91% (suspendieron más del 78% de los examinados), unas cifras y porcentajes que se repitieron en los últimos cursos.

Noticia de El norte de Castilla (2010)

Y no dejo esto aquí por mero ego —sobre todo porque el que escribe no fue excepción ese año—. Lo dejo para subrayar que lo que encontrará aquí hoy ha de entenderse como la simplificación que es. Y sirva como recordatorio para respetar la complejidad y la profundidad de casi todo lo que otros descubrieron para permitirnos vivir los tiempos que corren.

Lo invisible

Vivimos inmersos en señales. El mundo lanza información constantemente en forma de sonidos, imágenes, movimientos o patrones cifrados. Pero no es posible ni verlo ni escucharlo todo, por mucho que uno “tenga la antena puesta”. Y es que harían falta tantas antenas como tipos de señales, y uno al final ha de concentrarse en lo que más le importa y sintonizar acordemente. Y aún así, a menudo, lo que recibimos está mezclado, distorsionado e incluso contaminado. Es como si intentáramos entender una conversación en esa cafetería donde todos hablan a la vez. ¿Es posible distinguir la melodía entre el ruido? Sí, ya imagina con qué herramienta.

La transformada de Fourier propone una idea contraintuitiva: para entender algo, no siempre hay que seguirlo paso a paso, en el tiempo. A veces, lo importante no es el cuándo, sino qué tipo de cosas están pasando, aunque sea todo a la vez. Es un poco como cambiar de perspectiva: dejar de mirar una novela línea por línea y observar, desde una dimensión atemporal, qué temas y qué emociones predominan.

No es tan distinto a cómo se ordena una biblioteca pública, por continuar el ejemplo. O las distintas canciones dentro de géneros, estados anímicos o uso. El orden alfabético sólo resulta útil cuando un libro, canción, película o serie ya está sintetizada y categorizada por sus componentes más básicos. Con las señales pasa lo mismo. Con todas, no sólo las sonoras que utilizo para los ejemplos por simplicidad divulgativa.

Esta es la diferencia entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia. Dos formas de mirar lo mismo, pero con resultados completamente distintos.

Dominio del tiempo: el relato cronológico

Sea usted de los que abusa de los mensajes de audio o de los que los detestan, estará familiarizado con cómo representan gráficamente el sonido. Una serie de líneas verticales que representan el volumen de la voz y se extienden horizontalmente de izquierda a derecha con su duración temporal. Para una canción, en un editor de sonido, se puede contemplar una serie de ondas que suben y bajan a medida que avanzan los segundos. Ambas son representaciones en el dominio del tiempo: cómo cambia una señal en el transcurso de los segundos.

Es como ver una película en orden. En esa forma de mirar, lo que importa es cuándo pasa algo. ¿En qué momento entra la batería? ¿Cuándo se hunde el Titanic? ¿Cuándo sube la intensidad de la guitarra? ¿Cuánto duran las pausa en Bohemian Rhapsody?

Esta forma de ver el mundo nos resulta natural porque vivimos en el tiempo. Nuestras historias, emociones, decisiones, todo se ordena cronológicamente. Pero no siempre es la mejor manera de entender lo que está ocurriendo. A veces hay que “ir al grano” para entender. Le habrá pasado que, buscando explicaciones, alguien comienza a contarle una historia secuencialmente y resulta desesperante. ¿Es realmente necesario escucharse una canción completa para saber si participa un oboe?

Dominio de la frecuencia: la partitura invisible

¿Por qué un oboe? Usted podría estar pensando en que lo fácil será reconocer frecuencias muy altas o muy bajas, como un violonchelo por ejemplo. Y sí, pero no es sólo eso. Cada instrumento tiene su “huella” en frecuencia.  Cuando un oboe toca una nota, por ejemplo un La4 (440 Hz), no emite sólo esa frecuencia pura. Lo que realmente se escucha es una frecuencia fundamental (440 Hz en este caso), junto con varios armónicos o sobretonos: múltiplos enteros de esa frecuencia (880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz…).

La intensidad relativa de esos armónicos (cuáles predominan, cuáles están atenuados) es lo que le da al oboe su timbre nasal, incisivo y fácilmente reconocible.

Si no tuviéramos una herramienta mejor para representarlo, podríamos imaginar algo así:

Frecuencia (Hz)          Intensidad relativa (simplificada)

—————————————————————————————

Fundamental:  440     ███████████

Armónico 1:   880         ██████

Armónico 2:  1320       █████

Armónico 3:  1760        ████

Armónico 4:  2200       ███

Armónico 5:  2640       ██

…

Esto, que ocurre para todos los instrumentos, es, en realidad, una primera aproximación al dominio de la frecuencia. En lugar de observar una señal como una línea que evoluciona en el tiempo, la transformamos en un conjunto de frecuencias que se ordenan en un espectro lineal. Esto nos permite saber qué está contenido ahí dentro, aunque esté todo mezclado.

Otro ejemplo de andar por casa es el de un batido. Si alguien nos ofrece un batido de frutas, y queremos saber qué ingredientes tiene, mirando el color no suele bastar. Necesitaríamos separarlo. La transformada de Fourier hace precisamente eso: separa una señal en sus “ingredientes” básicos, que son frecuencias puras. Es la pegatina de ingredientes que acompaña a los alimentos que encontramos en el supermercado. Es tan sencillo como eso. Sin necesidad de esperar a que acabe la canción completa o degustar el plato.

¿Cómo lo hace?

Ahora con inteligencia artificial es fácil encontrar una manera de tocar cualquier nota musical. Por complejo que sea un sonido —ya sea una canción, una mezcla, o una voz— se puede intentar reproducirlo ejecutando una a una las notas adecuadas. Haciéndolo bien, y sumando todas esas notas, es posible reconstruir el sonido original.

Eso es lo que propuso Jean-Baptiste Joseph Fourier a comienzos del siglo XIX: que cualquier señal, por complicada que sea, puede construirse (y por tanto analizarse) como la suma de ondas más simples, como si fueran las notas de un piano. Una idea audaz —permítame tildarla también de poética— que funcionó.

El cómo desde el lado técnico se lo ahorro, puede imaginar un sofisticado desarrollo matemático que hace uso de una integral para huir del dominio del tiempo. Y al revés, porque existe la transformada inversa. Lo que sí le voy a resumir son algunas de sus utilidades, santo y seña de esta casa.

• Música y sonido
  
  Esta se la habrá imaginado por el ejemplo de los instrumentos: ecualizadores y filtros. Muchas de las mejoras del sonido en un reproductor no son más que modificaciones en ciertas frecuencias identificadas gracias a Fourier. Al subir los graves o los agudos, alteramos el “peso” de determinados componentes de la señal.
  
  También se usa en compresión de audio (como en MP3), donde se eliminan frecuencias que el oído humano apenas percibe. O en el reconocimiento médico con los pitiditos cada vez más agudos que suben en frecuencia por el mismo motivo.
  
• Medicina
  
  Poesías a parte, el corazón no late siempre igual. Los electrocardiogramas muestran variaciones sutiles que pueden revelar enfermedades. Muchas de estas señales se analizan mejor en el dominio de la frecuencia. Lo mismo ocurre con imágenes médicas como las resonancias magnéticas, o, mi favorito por cercanía, la actividad cerebral y el análisis de electroencefalogramas (EEG) y magnetoelectroencefalogramas (MEG).
  
• Astronomía
  
  Igual le ha pasado desapercibido pero en el foro de MasDividendos hay un hilo dedicado a la vida extraterrestre. Si algún día se confirmase la misma porque nos mandasen una señal, seguramente la podríamos identificar gracias a trabajar en frecuencia.  La humanidad escucha constantemente el cosmos —no solo por los extraterrestres sino porque el universo también emite señales— con el reto de separar lo relevante (una supernova, un púlsar, una galaxia lejana) del ruido de fondo del universo. ¿Se acuerda de que en 2019 se pudo generar por fin la primera imagen de un agujero negro? Fourier.
  
• Inversión y datos
  
  En el análisis técnico de mercados, algunos algoritmos intentan eliminar la “volatilidad” de corto plazo (ruido) para detectar patrones más amplios (señal). En ciencia de datos, también se filtran señales para hacer predicciones más fiables.
  
• Psicología y percepción
  
  El ejemplo de apertura del artículo es real. Nuestros cerebros aplican su propia versión de la transformada de Fourier. La percepción auditiva humana tiende a descomponer sonidos en frecuencias. Cuando distinguimos una voz entre el bullicio, no seguimos cada palabra: detectamos un patrón, un timbre, una frecuencia familiar. Puede imaginar que, además, distintos rangos de frecuencias generan reacciones distintas en nuestro cerebro. Esto daría para un artículo en solitario. Ámbitos como el urbanismo, la pedagogía o la tecnología hacen uso de ello, desde la selección de sonidos de alerta (ambulancias, bomberos, policía, etc.) a la elección de tonos claramente identificables y muy direccionales para semáforos en ciudades bulliciosas. También se habrá dado cuenta de que la mayoría de las listas de reproducción “relajantes” siguen los mismos patrones.
  
  Y aquí me veo obligado a parar porque hay riesgo real de caer en un paréntesis eterno. Si quiere profundizar en los porqués le dejo dos recomendaciones.
  
  La densa: Eberhard Zwicker, una eminencia de la psicoacústica. En Psychoacoustics: Facts and Models, junto a Hugo Fastl (3.ª ed., Springer, 2007), Zwicker recapitula y ordena gran parte de sus estudios sobre cómo el sistema auditivo humano procesa el sonido.
  
  La menos densa:  para quienes prefieran aproximarse a este tema desde lo humano y no desde lo técnico, el neurólogo Oliver Sacks ofrece en Musicofilia (Anagrama, 2009) un retrato lleno de anécdotas de cómo las frecuencias, los timbres y los ritmos no solo nos afectan, sino que pueden transformarnos.
  
  Ambos libros hablan de ciertas frecuencias, ahora ya sabe cómo es posible identificarlas.

Distinguir la señal del ruido

Además, gracias a la transformada de Fourier, es posible distinguir fácilmente la señal del ruido. Con esto es con lo que muchas cosas cobran sentido. Ya sabe que tanto en la vida, como en la ciencia o en la inversión, no todo lo que aparece importa. No todo lo que suena es música. Hay ruido. Y el ruido, por definición, es desordenado. Ocupa todas las frecuencias, sin patrón, sin lógica.

La señal, en cambio, suele tener estructura. Una voz humana tiene frecuencias dominantes. Una melodía tiene armonía. Una tendencia en una serie de datos tiene coherencia interna.

Al pasar una señal por la transformada de Fourier, el ruido se muestra como un fondo difuso (quizás le suene el término de ruido blanco o gaussiano), mientras que la señal aparece con picos definidos, como montañas que sobresalen en un paisaje brumoso. Es así como los técnicos limpian el sonido en una grabación, como los astrónomos detectan señales del espacio profundo o como los médicos analizan un electrocardiograma. Buscan forma entre el caos.

A estas alturas espero que entienda por qué esta herramienta aprendida en mi juventud me pone especialmente poético. Seguramente, para mí, lo más elegante de esta herramienta no sea su potencia técnica —y créame que la usábamos para todo—, sino su profundidad filosófica.

La transformada de Fourier me recuerda que a veces, para entender algo, no basta con seguirlo paso a paso. Hay que parar, mirar de otra manera, y ver qué lo compone. Qué lo sostiene. Qué forma parte esencial de él, y qué es solo ruido.

También enseña que la estructura no siempre se ve a simple vista, que hay armonías invisibles esperando ser descubiertas, que lo caótico puede tener orden, si se sabe mirar.

Y, sobre todo, que en un mundo lleno de datos, de opiniones, de estímulos… aprender a distinguir la señal del ruido es una habilidad crucial.