De todas las inutilidades, tengo especial predilecci\u00f3n por aquellas sobre las que en alg\u00fan momento he dicho en voz alta \u201c\u00bfPero esto cuando lo vamos a usar en nuestra vida?\u201d. Todos hemos sido j\u00f3venes y tendremos alguna grabada a fuego. Si adem\u00e1s usted ha tenido la suerte de profundizar acad\u00e9micamente en un tema, es posible que tenga una colecci\u00f3n considerable. De mi primer paso por la universidad guardo una larga lista gracias al campo de las Telecomunicaciones, y una de mis favoritas es la temida transformada de Fourier. Herramienta a la que mi yo de 18 a\u00f1os jam\u00e1s pens\u00f3 dedicarle un escrito, pero ya ve usted que la vida cambia de un domingo a otro.<\/p>\n\n\n\n
Un poco de contexto<\/strong><\/p>\n\n\n\n Me gusta saltarme la rutina de vez en cuando y trabajar o estudiar un rato desde alguna cafeter\u00eda. Lo m\u00e1s com\u00fan es que a mi alrededor se forme un zumbido casi hipn\u00f3tico de conversaciones entremezcladas, cucharas golpeando tazas y la televisi\u00f3n contando alg\u00fan nuevo drama de fondo. El cerebro aprende a ignorar ese ruido ambiental, como una niebla sonora. Pero, a veces, de repente, mi cerebro conecta porque escucho algo. No s\u00e9 por qu\u00e9, pero entre todas esas voces distingo una. Una persona conocida ha entrado, alguien cuya voz, aunque no sea m\u00e1s fuerte que las otras, resalta por encima de todo. \u00bfPor qu\u00e9?<\/p>\n\n\n\n Esa peque\u00f1a maravilla cotidiana \u2014perdone mi vena especialmente po\u00e9tica\u2014 tiene mucho que ver con esa idea de las matem\u00e1ticas y la f\u00edsica que le comentaba: la transformada de Fourier.<\/p>\n\n\n\n El nombre suena tan t\u00e9cnico como enigm\u00e1tico. Fuera de los \u00e1mbitos especializados, puede que le suene a baraja de cartas o a ropa de ciclismo. Nada m\u00e1s lejos de la realidad. Lo que hay detr\u00e1s es bello y \u00fatil: una forma ver lo esencial en medio del ruido. Para mi fue la primera demostraci\u00f3n de que era posible ver lo invisible. Tambi\u00e9n de lo que uno se pod\u00eda encontrar al adentrarse en una ingenier\u00eda.<\/p>\n\n\n\n Porque la transformada de Fourier se impart\u00eda (e imagino se sigue impartiendo) en la asignatura de Sistemas Lineales, de la que uno pod\u00eda encontrar noticias como la siguiente en la prensa regional de la \u00e9poca.<\/p>\n\n\n\n No obstante, analizando detalladamente la ‘lista negra’ se puede obtener el\u00a0‘top’ de las ocho asignaturas con mayor fracaso acad\u00e9mico<\/strong>, teniendo en cuenta los tres criterios utilizados para el estudio. Estar\u00eda encabezada por\u00a0Sistemas Lineales, que se imparte en la titulaci\u00f3n de Ingeniero T\u00e9cnico de Telecomunicaci\u00f3n, especialidad Sistemas de Telecomunicaci\u00f3n<\/strong>, del Departamento de Teor\u00eda de la Se\u00f1al y Comunicaciones e Ingenier\u00eda Telem\u00e1tica. De los 125 alumnos matriculados en el curso objeto de an\u00e1lisis, la tasa de rendimiento fue del 12% (suspendieron el 88% de los alumnos matriculados) y la de \u00e9xito fue del 31,91% (suspendieron m\u00e1s del 78% de los examinados), unas cifras y porcentajes que se repitieron en los \u00faltimos cursos. Noticia de El norte de Castilla (2010)<\/em><\/p>\n\n\n\n Y no dejo esto aqu\u00ed por mero ego \u2014sobre todo porque el que escribe no fue excepci\u00f3n ese a\u00f1o\u2014. Lo dejo para subrayar que lo que encontrar\u00e1 aqu\u00ed hoy ha de entenderse como la simplificaci\u00f3n que es<\/strong>. Y sirva como recordatorio para respetar la complejidad y la profundidad de casi todo lo que otros descubrieron para permitirnos vivir los tiempos que corren.<\/p>\n\n\n\n Lo invisible<\/strong><\/p>\n\n\n\n Vivimos inmersos en se\u00f1ales. El mundo lanza informaci\u00f3n constantemente en forma de sonidos, im\u00e1genes, movimientos o patrones cifrados. Pero no es posible ni verlo ni escucharlo todo, por mucho que uno \u201ctenga la antena puesta\u201d. Y es que har\u00edan falta tantas antenas como tipos de se\u00f1ales, y uno al final ha de concentrarse en lo que m\u00e1s le importa y sintonizar acordemente. Y a\u00fan as\u00ed, a menudo, lo que recibimos est\u00e1 mezclado, distorsionado e incluso contaminado. Es como si intent\u00e1ramos entender una conversaci\u00f3n en esa cafeter\u00eda donde todos hablan a la vez. \u00bfEs posible distinguir la melod\u00eda entre el ruido? S\u00ed, ya imagina con qu\u00e9 herramienta.<\/p>\n\n\n\n La transformada de Fourier propone una idea contraintuitiva: para entender algo, no siempre hay que seguirlo paso a paso, en el tiempo. A veces, lo importante no es el cu\u00e1ndo, sino qu\u00e9 tipo de cosas est\u00e1n pasando, aunque sea todo a la vez. Es un poco como cambiar de perspectiva: dejar de mirar una novela l\u00ednea por l\u00ednea y observar, desde una dimensi\u00f3n atemporal, qu\u00e9 temas y qu\u00e9 emociones predominan.<\/p>\n\n\n\n No es tan distinto a c\u00f3mo se ordena una biblioteca p\u00fablica, por continuar el ejemplo. O las distintas canciones dentro de g\u00e9neros, estados an\u00edmicos o uso. El orden alfab\u00e9tico s\u00f3lo resulta \u00fatil cuando un libro, canci\u00f3n, pel\u00edcula o serie ya est\u00e1 sintetizada y categorizada por sus componentes m\u00e1s b\u00e1sicos. Con las se\u00f1ales pasa lo mismo. Con todas, no s\u00f3lo las sonoras que utilizo para los ejemplos por simplicidad divulgativa.<\/p>\n\n\n\n Esta es la diferencia entre el dominio<\/em> del tiempo y el dominio<\/em> de la frecuencia. Dos formas de mirar lo mismo, pero con resultados completamente distintos.<\/p>\n\n\n\n Dominio del tiempo: el relato cronol\u00f3gico<\/strong><\/p>\n\n\n\n Sea usted de los que abusa de los mensajes de audio o de los que los detestan, estar\u00e1 familiarizado con c\u00f3mo representan gr\u00e1ficamente el sonido. Una serie de l\u00edneas verticales que representan el volumen de la voz y se extienden horizontalmente de izquierda a derecha con su duraci\u00f3n temporal. Para una canci\u00f3n, en un editor de sonido, se puede contemplar una serie de ondas que suben y bajan a medida que avanzan los segundos. Ambas son representaciones en el dominio<\/em> del tiempo: c\u00f3mo cambia una se\u00f1al en el transcurso de los segundos.<\/p>\n\n\n\n Es como ver una pel\u00edcula en orden. En esa forma de mirar, lo que importa es cu\u00e1ndo pasa algo. \u00bfEn qu\u00e9 momento entra la bater\u00eda? \u00bfCu\u00e1ndo se hunde el Titanic? \u00bfCu\u00e1ndo sube la intensidad de la guitarra? \u00bfCu\u00e1nto duran las pausa en Bohemian Rhapsody?<\/p>\n\n\n\n Esta forma de ver el mundo nos resulta natural porque vivimos en el tiempo. Nuestras historias, emociones, decisiones, todo se ordena cronol\u00f3gicamente. Pero no siempre es la mejor manera de entender lo que est\u00e1 ocurriendo. A veces hay que \u201cir al grano\u201d para entender. Le habr\u00e1 pasado que, buscando explicaciones, alguien comienza a contarle una historia secuencialmente y resulta desesperante. \u00bfEs realmente necesario escucharse una canci\u00f3n completa para saber si participa un oboe?<\/p>\n\n\n\n Dominio de la frecuencia: la partitura invisible<\/strong><\/p>\n\n\n\n \u00bfPor qu\u00e9 un oboe? Usted podr\u00eda estar pensando en que lo f\u00e1cil ser\u00e1 reconocer frecuencias muy altas o muy bajas, como un violonchelo por ejemplo. Y s\u00ed, pero no es s\u00f3lo eso. Cada instrumento tiene su \u201chuella\u201d en frecuencia. <\/strong>Cuando un oboe toca una nota, por ejemplo un La4 (440 Hz), no emite s\u00f3lo esa frecuencia pura. Lo que realmente se escucha es una frecuencia fundamental (440 Hz en este caso), junto con varios arm\u00f3nicos o sobretonos: m\u00faltiplos enteros de esa frecuencia (880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz\u2026).<\/p>\n\n\n\n La intensidad relativa de esos arm\u00f3nicos (cu\u00e1les predominan, cu\u00e1les est\u00e1n atenuados) es lo que le da al oboe su timbre nasal, incisivo y f\u00e1cilmente reconocible.<\/p>\n\n\n\n Si no tuvi\u00e9ramos una herramienta mejor para representarlo, podr\u00edamos imaginar algo as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n Frecuencia (Hz) Intensidad relativa (simplificada)<\/p>\n\n\n\n —————————————————————————————<\/p>\n\n\n\n Fundamental:\u00a0 440\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588<\/p>\n\n\n\n Arm\u00f3nico 1:\u00a0\u00a0 880\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0\u00a0 \u2588\u2588\u2588\u2588\u2588\u2588<\/p>\n\n\n\n Arm\u00f3nico 2:\u00a0 1320\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u2588\u2588\u2588\u2588\u2588<\/p>\n\n\n\n Arm\u00f3nico 3:\u00a0 1760\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u00a0 \u2588\u2588\u2588\u2588<\/p>\n\n\n\n Arm\u00f3nico 4: 2200 \u2588\u2588\u2588<\/p>\n\n\n\n Arm\u00f3nico 5: 2640 \u2588\u2588<\/p>\n\n\n\n …<\/p>\n\n\n\n Esto, que ocurre para todos los instrumentos, es, en realidad, una primera aproximaci\u00f3n al dominio de la frecuencia. En lugar de observar una se\u00f1al como una l\u00ednea que evoluciona en el tiempo, la transformamos en un conjunto de frecuencias que se ordenan en un espectro lineal. Esto nos permite saber qu\u00e9<\/strong> est\u00e1 contenido ah\u00ed dentro, aunque est\u00e9 todo mezclado.<\/p>\n\n\n\n Otro ejemplo de andar por casa es el de un batido. Si alguien nos ofrece un batido de frutas, y queremos saber qu\u00e9 ingredientes tiene, mirando el color no suele bastar. Necesitar\u00edamos separarlo. La transformada de Fourier hace precisamente eso: separa una se\u00f1al en sus \u201cingredientes\u201d b\u00e1sicos, que son frecuencias puras. Es la pegatina de ingredientes que acompa\u00f1a a los alimentos que encontramos en el supermercado. Es tan sencillo como eso. Sin necesidad de esperar a que acabe la canci\u00f3n completa o degustar el plato.<\/p>\n\n\n\n \u00bfC\u00f3mo lo hace?<\/strong><\/p>\n\n\n\n Ahora con inteligencia artificial es f\u00e1cil encontrar una manera de tocar cualquier nota musical. Por complejo que sea un sonido \u2014ya sea una canci\u00f3n, una mezcla, o una voz\u2014 se puede intentar reproducirlo ejecutando una a una las notas adecuadas. Haci\u00e9ndolo bien, y sumando todas esas notas, es posible reconstruir el sonido original.<\/p>\n\n\n\n Eso es lo que propuso Jean-Baptiste Joseph Fourier a comienzos del siglo XIX: que cualquier se\u00f1al, por complicada que sea, puede construirse (y por tanto analizarse) como la suma de ondas m\u00e1s simples, como si fueran las notas de un piano. Una idea audaz \u2014perm\u00edtame tildarla tambi\u00e9n de po\u00e9tica\u2014 que funcion\u00f3.<\/p>\n\n\n\n El c\u00f3mo desde el lado t\u00e9cnico se lo ahorro, puede imaginar un sofisticado desarrollo matem\u00e1tico que hace uso de una integral para huir del dominio del tiempo. Y al rev\u00e9s, porque existe la transformada inversa. Lo que s\u00ed le voy a resumir son algunas de sus utilidades, santo y se\u00f1a de esta casa.<\/p>\n\n\n\n Distinguir la se\u00f1al del ruido<\/strong><\/p>\n\n\n\n Adem\u00e1s, gracias a la transformada de Fourier, es posible distinguir f\u00e1cilmente la se\u00f1al del ruido. Con esto es con lo que muchas cosas cobran sentido. Ya sabe que tanto en la vida, como en la ciencia o en la inversi\u00f3n, no todo lo que aparece importa. No todo lo que suena es m\u00fasica. Hay ruido. Y el ruido, por definici\u00f3n, es desordenado. Ocupa todas las frecuencias, sin patr\u00f3n, sin l\u00f3gica.<\/p>\n\n\n\n La se\u00f1al, en cambio, suele tener estructura. Una voz humana tiene frecuencias dominantes. Una melod\u00eda tiene armon\u00eda. Una tendencia en una serie de datos tiene coherencia interna.<\/p>\n\n\n\n Al pasar una se\u00f1al por la transformada de Fourier, el ruido se muestra como un fondo difuso (quiz\u00e1s le suene el t\u00e9rmino de ruido blanco o gaussiano), mientras que la se\u00f1al aparece con picos definidos, como monta\u00f1as que sobresalen en un paisaje brumoso. Es as\u00ed como los t\u00e9cnicos limpian el sonido en una grabaci\u00f3n, como los astr\u00f3nomos detectan se\u00f1ales del espacio profundo o como los m\u00e9dicos analizan un electrocardiograma. Buscan forma entre el caos.<\/p>\n\n\n\n A estas alturas espero que entienda por qu\u00e9 esta herramienta aprendida en mi juventud me pone especialmente po\u00e9tico. Seguramente, para m\u00ed, lo m\u00e1s elegante de esta herramienta no sea su potencia t\u00e9cnica \u2014y cr\u00e9ame que la us\u00e1bamos para todo\u2014, sino su profundidad filos\u00f3fica.<\/p>\n\n\n\n La transformada de Fourier me recuerda que a veces, para entender algo, no basta con seguirlo paso a paso. Hay que parar, mirar de otra manera, y ver qu\u00e9 lo compone. Qu\u00e9 lo sostiene. Qu\u00e9 forma parte esencial de \u00e9l, y qu\u00e9 es solo ruido.<\/p>\n\n\n\n Tambi\u00e9n ense\u00f1a que la estructura no siempre se ve a simple vista, que hay armon\u00edas invisibles esperando ser descubiertas, que lo ca\u00f3tico puede tener orden, si se sabe mirar.<\/p>\n\n\n\n Y, sobre todo, que en un mundo lleno de datos, de opiniones, de est\u00edmulos… aprender a distinguir la se\u00f1al del ruido es una habilidad crucial.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Aunque lo parezca por el t\u00edtulo, no va de Hamlet \u2014aunque tambi\u00e9n aqu\u00ed aparecen espectros, y alg\u00fan que otro dilema existencial. 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Esta se la habr\u00e1 imaginado por el ejemplo de los instrumentos: ecualizadores y filtros. Muchas de las mejoras del sonido en un reproductor no son m\u00e1s que modificaciones en ciertas frecuencias identificadas gracias a Fourier. Al subir los graves o los agudos, alteramos el \u201cpeso\u201d de determinados componentes de la se\u00f1al.
Tambi\u00e9n se usa en compresi\u00f3n de audio (como en MP3), donde se eliminan frecuencias que el o\u00eddo humano apenas percibe. O en el reconocimiento m\u00e9dico con los pitiditos cada vez m\u00e1s agudos que suben en frecuencia por el mismo motivo.
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Poes\u00edas a parte, el coraz\u00f3n no late siempre igual. Los electrocardiogramas muestran variaciones sutiles que pueden revelar enfermedades. Muchas de estas se\u00f1ales se analizan mejor en el dominio de la frecuencia. Lo mismo ocurre con im\u00e1genes m\u00e9dicas como las resonancias magn\u00e9ticas, o, mi favorito por cercan\u00eda, la actividad cerebral y el an\u00e1lisis de electroencefalogramas (EEG) y magnetoelectroencefalogramas (MEG).
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Igual le ha pasado desapercibido pero en el foro de MasDividendos hay un hilo dedicado a la vida extraterrestre. Si alg\u00fan d\u00eda se confirmase la misma porque nos mandasen una se\u00f1al, seguramente la podr\u00edamos identificar gracias a trabajar en frecuencia. \u00a0La humanidad escucha constantemente el cosmos \u2014no solo por los extraterrestres sino porque el universo tambi\u00e9n emite se\u00f1ales\u2014 con el reto de separar lo relevante (una supernova, un p\u00falsar, una galaxia lejana) del ruido de fondo del universo. \u00bfSe acuerda de que en 2019 se pudo generar por fin la primera imagen de un agujero negro? Fourier.
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En el an\u00e1lisis t\u00e9cnico de mercados, algunos algoritmos intentan eliminar la \u201cvolatilidad\u201d de corto plazo (ruido) para detectar patrones m\u00e1s amplios (se\u00f1al). En ciencia de datos, tambi\u00e9n se filtran se\u00f1ales para hacer predicciones m\u00e1s fiables.
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El ejemplo de apertura del art\u00edculo es real. Nuestros cerebros aplican su propia versi\u00f3n de la transformada de Fourier. La percepci\u00f3n auditiva humana tiende a descomponer sonidos en frecuencias. Cuando distinguimos una voz entre el bullicio, no seguimos cada palabra: detectamos un patr\u00f3n, un timbre, una frecuencia familiar. Puede imaginar que, adem\u00e1s, distintos rangos de frecuencias generan reacciones distintas en nuestro cerebro. Esto dar\u00eda para un art\u00edculo en solitario. \u00c1mbitos como el urbanismo, la pedagog\u00eda o la tecnolog\u00eda hacen uso de ello, desde la selecci\u00f3n de sonidos de alerta (ambulancias, bomberos, polic\u00eda, etc.) a la elecci\u00f3n de tonos claramente identificables y muy direccionales para sem\u00e1foros en ciudades bulliciosas. Tambi\u00e9n se habr\u00e1 dado cuenta de que la mayor\u00eda de las listas de reproducci\u00f3n \u201crelajantes\u201d siguen los mismos patrones.
Y aqu\u00ed me veo obligado a parar porque hay riesgo real de caer en un par\u00e9ntesis eterno. Si quiere profundizar en los porqu\u00e9s le dejo dos recomendaciones.
La densa: Eberhard Zwicker, una eminencia de la psicoac\u00fastica. En Psychoacoustics: Facts and Models<\/em>, junto a Hugo Fastl (3.\u00aa ed., Springer, 2007), Zwicker recapitula y ordena gran parte de sus estudios sobre c\u00f3mo el sistema auditivo humano procesa el sonido.
La menos densa: \u00a0para quienes prefieran aproximarse a este tema desde lo humano y no desde lo t\u00e9cnico, el neur\u00f3logo Oliver Sacks ofrece en Musicofilia<\/em> (Anagrama, 2009) un retrato lleno de an\u00e9cdotas de c\u00f3mo las frecuencias, los timbres y los ritmos no solo nos afectan, sino que pueden transformarnos.
Ambos libros hablan de ciertas frecuencias, ahora ya sabe c\u00f3mo es posible identificarlas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n